Расчет среднего значения и среднего квадратического отклонения по нескольким мгновенным выборкам

3. Расчет среднего значения и среднего квадратического отклонения по нескольким мгновенным выборкам

3.1. Среднее значение рассчитывают по формуле

,                                                                  (5)

где х_j - среднее значение j-й мгновенной выборки;

m - число мгновенных выборок.

3.2. Пример. Определить среднее значение контролируемого параметра по данным четырех мгновенных выборок, полученных при обработке вала диаметром 13,3h8_-0,27 и приведенных в табл. 2.

По формуле (1) рассчитывают среднее значение х_j контролируемого параметра для каждой мгновенной выборки. Результаты расчета приведены в нижней строке табл. 2.

Таблица 2

Номер детали в выборке	Номер выборки
	1	2	3	4
1	13,25	13,18	13,19	13,13
2	13,28	13,22	13,20	13,13
3	13,26	13,14	13,22	13,29
4	13,10	13,20	13,28	13,21
5	13,14	13,25	13,25	13,20
хj	13,206	13,178	13,228	13,192

По формуле (5) определяем искомое среднее значение

.

3.3. Среднее квадратическое отклонение по нескольким мгновенным выборкам одинакового объема рассчитывают по формуле

,                                         (6)

где S_j - среднее квадратическое отклонение в j-й мгновенной выборке, определяемое по п. 2.3.

3.4. Пример. Определить среднее квадратическое отклонение по данным п. 3.2 (табл. 2).

Определяем величину s_j для каждой мгновенной выборки по формуле (3) п. 2.3.

Результаты расчетов сведены в табл. 3.

Таблица 3

Номер выборки	1	2	3	4
sj	0,080	0,033	0,037	0,066

По формуле (6) определяем искомую величину

3.5. В некоторых случаях среднее квадратическое отклонение с достаточной для практики точностью можно определить методом размахов. В этом случае используют формулу

,

,                                                          (7)

где R_j - величина размаха в j-й мгновенной выборке.

3.6. Пример. Определить среднее квадратическое отклонение методом размахов по данным п. 3.2 (табл. 2). Определяем величины R_j как разность максимального и минимального значений параметра в j-й мгновенной выборке. Результаты расчетов сведены в табл. 4.

Таблица 4

Номер выборки	1	2	3	4
Rj	0,18	0,08	0,09	0,13

Определяем искомую величину по формуле (7):

4. Оценку достоверности полученных значений параметров точности по пп. 2 и 3 следует производить методом доверительных интервалов, исходя из общего объема выборки n.

4.1. Доверительным интервалом для величины х будет интервал

,                                                    (8)

в котором e определяют по формуле

,                                                                    (9)

где t_g - квантиль распределения Стьюдента, определяемый для заданной доверительной вероятности g, по табл. 5 в зависимости от уровня значимости а=1-g и числа степеней свободы k=n-1;

S - среднее квадратическое отклонение в выборке.

Таблица 5

Значения квантилей распределения Стьюдента t_g

К	Уровень значимости а
	0,80	0,40	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01
1	0,325	1,376	3,078	6,314	12,706	31,821	63,657
2	0,289	1,061	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925
3	0,277	0,978	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841
4	0,271	0,941	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604
5	0,267	0,920	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032
6	0,265	0,906	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707
7	0,263	0,896	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499
8	0,262	0,889	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355
9	0,261	0,883	1,383	1,833	2262	2,821	3,250
10	0,260	0,879	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169
11	0,260	0,876	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106
12	0,259	0,873	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055
13	0,259	0,870	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012
14	0,258	0,868	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977
15	0,258	0,866	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947
16	0,258	0,865	1,337	1,746	2,120	2,583	2,921
17	0,257	0,863	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898
18	0,257	0,862	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878
19	0,257	0,861	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861
20	0,257	0,860	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845
21	0,257	0,859	1,323	1,721	2,080	2,518	2,831
22	0,256	0,858	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819
23	0,256	0,858	1,319	1,714	2,069	2,500	2,807
24	0,256	0,857	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797
25	0,256	0,856	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787
26	0,256	0,856	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779
27	0,256	0,855	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771
28	0,256	0,855	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763
29	0,256	0,854	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756
30	0,256	0,854	1,310	1,697	2,042	2,457	2,750
40	0,255	0,851	1,303	1,684	2,021	2,423	2,704
60	0,254	0,848	1,296	1,671	2,000	2,390	2,660
120	0,254	0,845	1,289	1,658	1,980	2,358	2,617
¥	0,253	0,842	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576

4.2. В случае, если параметр х распределен по нормальному закону, его доверительный интервал определяют по формуле

,                                      (10)

где величины  и  (значения критерия согласия Пирсона) определяют по табл. 6в зависимости от числа k=n-1 и вероятности Р

.                                   (11)

Таблица 6

Значения х² в зависимости от Р и k=n-1

k	Р
	0,005	0,025	0,05	0,95	0,995	0,999
1	7,80	5,00	3,80	0,004	0,001	0,00
3	13,00	9,30	7,80	0,35	0,20	0,01
5	17,00	12,70	11,00	1,10	0,83	0,15
7	20,50	16,00	14,00	2,20	1,70	0,60
10	25,00	20,50	18,50	4,00	3,20	1,50
15	33,00	27,50	25,00	7,40	6,20	3,40
20	40,00	34,00	31,00	11,00	9,60	6,00
25	47,00	40,50	38,00	14,50	13,00	8,60
30	54,00	47,00	44,00	18,50	16,70	11,50
36	62,00	54,00	51,00	23,00	20,21	15,00
40	66,00	60,00	66,00	26,00	24,00	18,00
46	74,00	66,00	62,00	31,00	29,00	21,00
50	78,00	72,00	68,00	35,00	32,00	24,00
56	86,00	78,00	74,00	40,00	37,00	28,00
60	92,00	84,00	78,00	41,00	40,00	31,00
66	98,00	90,00	86,00	48,00	46,00	36,00
70	104,00	95,00	90,00	52,00	48,00	39,00

Доверительная вероятность g обычно принимается достаточно большой и равной 0,9; 0,95; 0,99 в зависимости от уровня требований, предъявляемых к качеству изготовляемой продукции.

4.3. Пример. Определить доверительный интервал для величин

=13,206 и

S=0,08,

рассчитанных в пп. 2.2 и 2.4 при общем объеме выборки n=5.

4.4.1. Определяем доверительный интервал для  по выражению (8)

.

Задаваясь доверительной вероятностью g=0,9, определяем уровень значимости

а=1-g=0,1.

По табл. 5 для а=0,1 и k=n-1=4 находим значение квантиля распределения Стьюдента t_g=2,132.

Рассчитываем величину e по формуле (9):

.

Следовательно, I_х=(13,121¸13,291).

4.4.2. Определяем доверительный интервал для S по выражению (10)

,

Задаваясь доверительной вероятностью g=0,9, определяем вероятности Р по выражению (11)

;        .

По табл. 6 для k=n-1=4 находим значения критериев согласия Пирсона

=9,        =0,72.

Следовательно,

.

4. Пример. Оценить точность ТС токарной операции методом квалитетов.

4.1. Исходные данные. Операцию производят на автомате продольного точения мод. 1П16 класса точности П; в качестве заготовки используют пруток диаметром 16 мм из автоматной прутковой стали; максимальное возможное смещение режущей кромки резца (из-за его износа, тепловых деформаций и т.п.) по справочным данным не превосходит 7 мкм; допуск на обработку контролируемого параметра диаметром 14h8 равен 27 мкм.

4.2. По ГОСТ 8831-79 находим, что допуск на диаметр образца-изделия в поперечном сечении равен 8 мкм.

4.3. Определяем область возможных отклонений контролируемого параметра по п. 3 (равную сумме допуска на диаметр образца-изделия и удвоенной абсолютной величины смещения режущей кромки резца):

d_S=8+2·7=22 мкм.

4.4. Сравнивая величину d_S с допуском на обработку контролируемого параметра диаметром 14h8, в соответствии с п. 2 делаем вывод о том, что точность рассматриваемой ТС следует считать удовлетворительной.

Источник: ГОСТ 27.202-83: Надежность в технике. Технологические системы. Методы оценки надежности по параметрам качества изготовляемой продукции оригинал документа